Az elmúlt napokat kvázikaranténban töltöttem ( kétszer lementem a kisboltba és tegnap vettem ezt a barbadosi cuccot, amiből a poszt megírása alatt elfogy féldeci ) és Királyhelyi Pállal szólva, most ment el teljesen a kedvem a koronavírustól. 

        Ami most jön, az egy filozófiai példabeszéd: Néha bonyolultan hangzó trivialitások állnak az egyszerűen hangzó nehéz állítások mögött. 

        Az egyszerűen hangzó és elég rafkós állítás az, hogy bárhogyan színezzük ki az egész számokat véges sok színre, lesz egy olyan színosztály, ami tartalmaz végtelen sok olyan elemet, amelyek tetszőleges véges kombinációja is benne van a színosztályban.  Ez a Hindman-tétel. És most tiltakozásul a koronavírus, orbánviktor és még pár dolog ellen, leírom ide a híres idempotens-ultrafilteres bizonyítását a Hindman-tételnek. Mostanában folyamatosan ezekkel az izékkel foglalkozom, és ezt az alkalmazást nem bírtam otthagyni, annyira kis csinos.

       Nyugi, mostantól majd írom a jó kis orbánozós, koronavírusozós posztokat (vagy nem). 

       1.   A bonyolultan hangzó állítás az Ellis-Numakura Lemma. Az  Ellis-Numakura Lemma azt mondja ki, hogy minden olyan kompakt félcsoportban, amelyben a balról szorzások folytonosak, van idempotens elem, azaz létezik egy p elem, amire p=pp. 

       2.   A bizonyítás teljesen triviális. A Zorn-lemma szerint van a kompakt félcsoportunkban egy M kompakt részfélcsoport, ami minimális, tehát nem tartalmaz valódi részhalmazként kompakt részfélcsoportot.  Vegyük ennek az M részfélcsoportnak egy p elemét. És tekintsük a pM halmazt. Ez egy kompakt részfélcsoport, tehát a minimalitás miatt pM=M. Azaz, létezik olyan q, amelyre pq=q.  Vegyük most azon q elemek N halmazát M-ben, amelyre pq=q. N nyilván kompakt és nyilván félcsoport, tehat egyenlő M-mel. Azaz p az N-ben van, tehát pp=p.

      3.  Vegyük a természetes számok Cech-Stone kompaktifikációját. Az egy félcsoport.  Nem csoport, de fél. Fogod az X ultrafiltert és az Y ultrafiltert és a szorzatuk úgy van definiálva, hogy egy A részhalmaz akkor van benne XY-ben, ha Y-sok eltoltja X-beli. Elég creepy, de ez tényleg félcsoport. 

      4.  Tehát az Ellis-Numakura Lemma szerint vannak idempotens ultrafilterek. Ezek tehát olyan ultrafilterek, hogy akkor van bennük egy részhalmaz, ha ultrasok eltoltjuk is benne van. 

      5.  A természetes számok egy részhalmaza Hindman-nagy, ha  van benne egy végtelen részhalmaz, aminek minden véges részösszege is benne van a halmazban. Állítás: egy idempotens ultrafilter minden egyes eleme Hindman-nagy. Ez pedig elég a Hindman-tételhez, hiszen ha véges sok színnel kiszínezzük a természetes számokat, akkor legalább az egyik színosztály a kedvenc ultrafilterünkben lesz.

      6.  Vegyük tehát az X idempotens ultrafiltert és ennek egy A elemét. Róla szeretnénk bebizonyítani, hogy Hindman-nagy. Legyen A halmaz duálisa az az A* halmaz, ami pont azokból az elemekből áll, akikkel eltolva A-t X-ben maradunk. Mivel X idempotens A* is benne van X-ben. Vegyük tehát A és A* metszetét. Ez egy végtelen halmaz (triviális módon idempotens ultrafilter nem lehet principális) vegyünk belőle egy x0 elemet. És most vegyük az A-x0 halmaz metszetét az A-val és nevezzük el A1-nek. Az idempotens tulajdonság miatt A1 is benne van az  ultrafilterben. 

      7. Most vegyük az A1 duálisának metszetét A1-gyel és vegyünk belőle egy x1 elemet, ami nagyobb, mint x0. És induktíve konstruáljuk meg az x0, x1,…. sorozatot. Könnyű látni, hogy minden véges kombinációjuk az A halmazban van. Tehát az  A halmaz Hindman-nagy. 

     Ha el nem basztam, ahogy az egyszeri székely favágó mondta volt…. Arányag sok helyen van leírva, ha valakit érdekelnek a részletek. A barbadosi cucc jó. 

     

Megosztom Facebookon!
Megosztom Twitteren!
Megosztom Tumblren!

Powered by WPeMatico